简谐振动仿真
单摆与弹簧振子实时动画 · 拖动参数看周期与能量如何变化
摆长越长，周期越长（T ∝ √L）
超过 15° 后实际周期会明显长于公式值
月球 1.6 · 地球 9.8 · 木星 24.8
单摆周期与质量无关，试试就知道
大于 0 时机械能不再守恒，振幅衰减
① 保持角度 10°，把质量从 0.2 拖到 5 —— 周期读数不变
② 把角度拖到 80° —— 实际振动明显慢于理论周期
③ 阻尼调到 0.3 —— 看总能量线（蓝）持续下降
④ g 改成 1.6（月球）—— 摆动变慢约 2.5 倍
什么是简谐振动
简谐振动是最基本的周期性运动模型，定义特征是：物体所受回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比、方向相反，即F = −kx。把它代入牛顿第二定律得到微分方程m·d²x/dt² = −kx，其解是标准正弦函数x(t) = A·cos(ωt + φ)，其中角频率 ω = √(k/m)，振幅 A 与初相 φ 由初始条件决定。简谐振动之所以重要，是因为几乎所有系统在平衡位置附近的小幅振动都可以近似成简谐振动——从分子热振动到桥梁风致颤振，都用这一套数学描述。
弹簧振子：严格的简谐振动
水平弹簧振子是简谐振动的教科书范例。弹簧的弹力严格遵循胡克定律 F = −kx，所以周期为T = 2π√(m/k)。这里有两个关键结论：周期与振幅无关（等时性，你可以拖动初始位移验证读数不变），周期随质量增大而变长、随弹簧变硬而变短。势能表达式为 Ep = ½kx²，是位移的二次函数，所以势能曲线呈抛物线形。
单摆：近似的简谐振动
单摆的严格运动方程是d²θ/dt² = −(g/L)·sinθ，含 sinθ 项因此并非严格的简谐振动，也没有初等函数解。只有在小角度下利用sinθ ≈ θ做近似，才退化为简谐振动，得到著名的T = 2π√(L/g)。本仿真直接对含 sinθ 的完整方程做数值积分，因此当你把初始角度调大时，能真实看到周期变长的现象：θ₀ = 30° 时实际周期比公式值长约 1.7%，θ₀ = 60° 时长约 7.3%，θ₀ = 90° 时长约 18%。这个偏差正是历史上摆钟必须限制摆幅的原因。
机械能守恒与阻尼衰减
在无阻尼情况下，振动系统的动能和势能不断相互转换，但总机械能 E = Ek + Ep 恒定不变——这就是页面中能量曲线里蓝色顶线保持水平的含义。经过平衡位置时速度最大、动能达到峰值、势能为零；到达最大位移处时速度为零、动能为零、势能达到峰值。注意动能峰值出现的频率是位移频率的两倍，因为每个周期物体两次通过平衡位置。当引入阻尼系数 b 后，方程变为m·x″ + b·x′ + kx = 0，阻尼力做负功耗散机械能，振幅按指数规律 e^(−bt/2m) 衰减，总能量线随之下降。根据阻尼强度可分为欠阻尼（往复振动且振幅衰减）、临界阻尼（最快回到平衡且不过冲）和过阻尼（缓慢趋近平衡）三种情形，汽车减震器就是按临界阻尼附近设计的。
工程应用
简谐振动模型在工程中无处不在：机械设计中要计算轴系与结构的固有频率f = (1/2π)√(k/m)以避免共振；电子电路中 LC 振荡回路的方程与弹簧振子完全同构（电感对应质量、电容倒数对应劲度系数）；建筑抗震依靠调谐质量阻尼器把结构振动能量转移耗散；精密仪器的隔振台则要把系统固有频率设计得远低于扰动频率。理解"固有频率由质量和刚度共同决定"这一条，是振动工程的入门钥匙。
- • 大学物理「振动与波」章节预习
- • 直观理解周期为何与质量无关
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- • 建立固有频率的直觉认识
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单摆的周期为什么与质量无关？
单摆周期公式 T = 2π√(L/g) 里没有质量项。原因是：驱动摆球回到平衡位置的回复力是重力分量 mg·sinθ，与质量成正比；而阻碍它运动的惯性也是质量 m。二者相除时质量被约掉，所以摆球加速度只由摆长 L 和重力加速度 g 决定。你可以在上面把质量从 0.5 kg 拖到 5 kg，会看到周期读数完全不变，但摆球变大、能量数值变大。这与伽利略的经典结论一致。
为什么摆角越大，实际周期就偏离 T = 2π√(L/g)？
因为该公式是小角近似的结果。严格的单摆运动方程是 θ" = −(g/L)·sinθ，无法用初等函数解出。只有当 θ 很小时 sinθ ≈ θ（弧度制），方程才退化为简谐振动，解出 T = 2π√(L/g)。本仿真用数值积分求解完整的 sinθ 方程，没有做近似，所以当你把初始角度拖到 60° 以上，会看到实际振动周期明显比公式预测值长（约长 7%），这叫大摆角的周期修正。工程上一般认为 θ < 5° 时公式误差可忽略。
弹簧振子和单摆有什么本质区别？
弹簧振子是严格的简谐振动，单摆只是近似的。弹簧的回复力遵循胡克定律 F = −kx，与位移严格成正比，所以无论振幅多大（只要不超出弹簧弹性限度），运动都是标准正弦，周期 T = 2π√(m/k) 恒定不变。单摆的回复力是 −mg·sinθ，只有小角度下才近似正比于 θ。另一个区别：弹簧振子周期与质量有关（质量越大周期越长），单摆周期与质量无关。
能量曲线为什么动能和势能此消彼长？
这是机械能守恒的直接可视化。在无阻尼情况下，系统总能量 E = Ek + Ep 保持恒定（图中蓝线是水平的）。摆球经过最低点时速度最大、高度最低，此时动能达到峰值、势能为零；摆到最高点时速度为零、高度最大，动能为零而势能达到峰值。能量在两种形式间来回转换，总量不变。注意动能峰值出现的频率是位移振动频率的 2 倍——因为一个周期内摆球会两次经过最低点。
加了阻尼之后为什么总能量在下降？
阻尼代表空气阻力、轴承摩擦等耗散力，它做负功把机械能转化成热能散失，所以机械能不再守恒——图中蓝色总能量线会持续下降，振幅逐渐衰减，这叫阻尼振动。阻尼较小时叫欠阻尼，系统仍会往复振动但振幅按指数衰减；阻尼很大时会变成过阻尼，物体缓慢回到平衡位置而不再往复。工程上的减震器、汽车悬挂、建筑阻尼器就是刻意利用这个原理。
这个仿真的计算准确吗，能用于作业和教学吗？
仿真采用半隐式欧拉法数值积分，每帧细分 8 个子步长，对单摆和弹簧振子这类保守系统能稳定收敛，周期与能量误差在千分之一量级，用于理解概念和定性验证完全足够。它在你的浏览器本地实时计算，不上传任何数据。可以自由用于课堂演示、课前预习和作业验算，但若需要提交精确的数值结果，仍建议用解析公式手算核对，或使用本站的工程计算器。