波的叠加与干涉仿真
双波叠加 · 驻波 · 双缝干涉三种模式 · 拖动参数看波节波腹与条纹间距如何变化
第一列波的振幅
与 A₁ 相等时反相可完全抵消
频率越高，波长 λ = v/f 越短
与 f₁ 略有差异即出现拍现象
0° 相长加强 · 180° 相消减弱
由介质决定，同时影响两列波的波长
① 双波叠加里保持 f₁=f₂、A₁=A₂，把 φ 从 0° 拖到 180° —— 合成波从 2 倍振幅变成一条直线
② 把 f₂ 改成 1.8 Hz —— 副图出现拍的包络，拍频读数 0.3 Hz
③ 驻波模式把 n 从 1 拖到 6 —— 波节数按 n+1 增加，波长按 2L/n 缩短
④ 双缝干涉把 d 从 12 缩到 2 cm —— 条纹间距 Δy 明显变宽，暗纹角度变大
什么是波的叠加原理
当两列波在同一介质中相遇时，介质中每个质点的位移等于各列波单独引起的位移的矢量和，即y = y₁ + y₂，这就是波的叠加原理。它的数学根源是波动方程的线性性：若 y₁、y₂ 各自满足方程，它们的和也一定满足。叠加原理还包含一个常被忽视的结论——两列波相遇后互不影响，分开后仍按各自原有的频率、波长和波速继续传播，就像从未相遇过。单列行波的表达式为y = A·sin(2π(x/λ − ft) + φ)，其中 λ = v/f、T = 1/f。
相长干涉与相消干涉
频率相同、振动方向一致的两列波叠加时会形成稳定的强弱分布，这叫干涉。合振幅由相位差决定：A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosφ)。当 φ = 2mπ 时同相叠加，A = A₁ + A₂，称为相长干涉；当 φ = (2m+1)π 时反相叠加，A = |A₁ − A₂|，称为相消干涉，只有振幅严格相等才能完全抵消。若两列波频率略有差异，干涉的强弱会随时间缓慢起伏，形成拍现象，拍频等于|f₁ − f₂|。
驻波的形成与波节波腹
两列振幅相同、频率相同、沿相反方向传播的波叠加，得到y = 2A·sin(2πx/λ)·cos(2πft)。空间因子与时间因子完全分离，波形不再平移，因此称为驻波。振幅恒为零的位置叫波节，满足x = nλ/2；振幅最大（等于 2A）的位置叫波腹，位于相邻两波节的正中间，相邻波节间距恒为 λ/2。两端固定的弦只能形成特定波长的驻波：λ = 2L/n，对应频率 f = nv/2L，这就是弦乐器的基频与泛音列的由来。
双缝干涉与条纹间距
两个同相点源发出的波到达屏上某点的路程差为δ = d·sinθ。当 δ = mλ 时两波同相到达，出现亮纹；当 δ = (m + ½)λ 时反相到达，出现暗纹。在 L ≫ d 的小角条件下 sinθ ≈ y/L，可推得相邻亮纹间距Δy = λL/d。可见缝间距越小、波长越长、屏距越远，条纹就越宽越容易分辨；反之若 d 小于 λ，除中央亮纹外将不再出现其他级次。这正是杨氏双缝实验测量光波波长的原理。
工程应用
干涉与叠加是大量现代技术的基础。主动降噪耳机采集环境噪声后播放反相声波，用相消干涉削弱低频噪声；超声无损检测依靠回波与入射波的相位关系判断裂纹深度，相控阵探头则通过控制各阵元的激励相位实现波束聚焦与偏转；相控阵雷达同理，用电子扫描替代机械转动天线。光学镀膜通过控制膜厚使反射光路程差为半波长而相消，做出增透镜头；激光干涉仪能以波长量级精度测量位移，是精密加工与引力波探测的核心手段。管乐器、声学厅堂设计则直接依赖驻波与共鸣频率的计算。
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波的叠加原理为什么成立，什么情况下会失效？
叠加原理来自波动方程的线性：若 y₁ 和 y₂ 都是解，则 y₁+y₂ 也是解。所以两列波相遇时各点位移直接相加，相遇后各自继续按原来的波形、频率和速度传播，互不改变。前提是介质响应线性、振幅不太大。当振幅大到介质进入非线性区（强声波激波、光学倍频晶体、大变形弦），叠加原理就不再严格成立，会产生新的频率成分。
相位差为 180° 时为什么有时还剩残余振动？
完全相消要求两列波频率相同、传播方向相同、相位差恰为 180°，并且振幅严格相等。如果 A₁ ≠ A₂，反相叠加只抵消掉较小振幅那部分，合振幅为 |A₁−A₂|，仍有残余。你可以在页面里把 φ 拖到 180°，先让 A₁=A₂=0.8 看到合成波变成一条直线，再把 A₂ 改成 0.4，合振幅读数会变成 0.4。降噪耳机做不到绝对静音也是同一原因。
拍现象是干涉吗，拍频怎么算？
拍是频率略有差异的两列波叠加造成的强度周期性起伏，本质仍是干涉，只是干涉的强弱随时间缓慢变化而非固定在空间某处。合振动的包络频率等于两频率之差，即拍频 = |f₁−f₂|，听觉上表现为忽强忽弱的"嗡嗡"声。把 f₁ 设为 1.5 Hz、f₂ 设为 1.8 Hz，副图里包络起伏周期约 3.3 秒，正好是 1/0.3。乐器调音就是靠听拍消失来对准音高。
驻波为什么"不传播"，波节处真的完全不动吗？
驻波是两列等幅、同频、反向传播的波叠加的结果，合成式 y = 2A·sin(2πx/λ)·cos(2πft) 中空间项和时间项分离，波形不再平移，只在原地上下起伏，所以看不到能量沿弦单向输送。波节位置满足 sin(2πx/λ)=0，即 x = nλ/2，那里振幅恒为零，理想情况下确实完全不动；实际弦上因为存在阻尼和高次谐波混入，波节会有微小抖动。
双缝干涉的条纹间距公式 Δy = λL/d 有什么使用条件？
该公式由 d·sinθ = mλ 在小角近似下推得：当 L ≫ d 且观察点靠近中央时 sinθ ≈ tanθ ≈ y/L，代入即得相邻亮纹间距 Δy = λL/d。条件是缝间距远小于屏距、观察角度较小。缝间距越小或波长越长，条纹越宽越易观察；若 d < λ，则除中央亮纹外不会出现其他级次。把页面里的 d 调到 1 cm、λ 调到 3 cm 就能看到这种情形。
这个仿真的算法是什么，结果可靠吗？
一维模式直接按解析式逐点求值：行波用 y = A·sin(2π(x/λ − ft)+φ)，驻波用 y = 2A·sin(2πx/λ)·cos(2πft)，不涉及数值积分，所以没有累积误差。二维干涉场按 4 像素粗网格逐块计算两列圆波的瞬时和，屏上光强按 I ∝ cos²(πδ/λ) 计算，δ 用精确几何距离差而非小角近似。全部在浏览器本地实时计算，适合概念理解与定性验证；提交精确数值仍建议用公式核算。