水箱放空要多久？托里拆利公式推一遍排空时间

先建立直觉：这不是匀速过程

「水箱 2 米高，底上一个 20mm 的孔，多久放空？」如果按初始流速乘容积去估，结果会偏小很多——因为孔口流速取决于液面高度，水越浅流得越慢，排空是个减速过程。这类问题教材上有标准解法：托里拆利公式加一次积分。

推导：从瞬时流速到排空时间

薄壁孔口的出流速度按托里拆利公式（教材通用）：

其中 C_d 是流量系数，锐缘薄壁孔口工程上常取 0.60~0.65（工程惯例/经验值，具体取值与孔口结构有关）。设水箱横截面积 A、孔口面积 a，液面下降 dh 时流出的水量守恒：

大容器口径远大于孔径（A≫a），液面速度可忽略，直接分离变量从 h₀ 积到 0：

若只排到某个中间液位 h，把根号项换成 即可。

代入实例：D=1m 水箱、20mm 底孔、h₀=2m

• 水箱截面 A = π/4 × 1² = 0.7854 m²
• 孔口面积 a = π/4 × 0.02² = 3.142×10⁻⁴ m²
• C_d 取 0.62（锐缘薄壁孔口，工程惯例）

逐项代入：

• A/(C_d·a) = 0.7854 / (0.62 × 3.142×10⁻⁴) ≈ 4032
• √(2h₀/g) = √(2×2/9.81) = √0.4077 ≈ 0.6386 s
• T = 4032 × 0.6386 ≈ 2575s ≈ 42.9 分钟

为什么后半箱要排两倍多的时间

把 h 换成 h₀/2 算「排掉上半箱」的时间：T₁/₂ = 4032 × (√0.4077 − √0.2039) = 4032 × (0.6386 − 0.4515) ≈ 755s ≈ 12.6 分钟。也就是说前半箱只用了全程的 29%，剩下半箱要排 30.3 分钟——液面越低压头越小，流速随 √h 衰减，尾段慢得肉眼可见。上图曲线是 h(t) = h₀(1−t/T)²，开头陡、末尾几乎躺平。

工程上这个特性有两个直接推论：想快就加大孔径（时间与孔面积成反比，孔径翻倍时间变 1/4）；想精确计量排放量的场合，别拿「每分钟放多少升」当常数，那是液位的函数。

两个使用边界

• 公式假设薄壁孔口。如果排出口接了一段管子（长度大于几倍管径），沿程损失不可忽略，C_d 要按管嘴结构重新取（工程惯例 0.8 上下），或者直接按短管出流另算。
• A≫a 不成立时（细高容器配大孔），液面下降速度本身会贡献压头，精确解要回原始微分方程，但误差通常也就百分之几，估算阶段不必纠结。

日常估算不想按计算器的话，站内水箱排空时间计算就是这套口径，输入直径、孔径和初始液位直接出曲线关键点，还可以反算「要多少分钟排完该开多大孔」。